Para poder seguir aprendiendo sobre el interés compuesto, ahora voy a hablar sobre la tasa nominal, efectiva y equivalente. Espero que te sea de utilidad. De hecho, conocer esto es muy importante para poder resolver los diferentes problemas de interés compuesto.
¿Por qué tienes que conocer la tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente?
Recuerda que en interés simple sí podemos dividir cualquier tasa entre lo que lleguemos a necesitar. Por ejemplo:
- Si tenemos una tasa del 20% anual y queremos una tasa mensual, podemos dividir 0.20 entre 12 y obtendríamos una tasa del 1.66% mensual. * Si tenemos una tasa del 50% anual y queremos una tasa diaria, podemos dividir 0.5 entre 360 y obtendríamos una tasa del 0.1388%.
- Ahora bien, si tenemos una tasa del 30% anual y queremos una tasa semestral, podemos dividir 0.3 entre 2 y obtendríamos una tasa del 15%. Eso sí podemos hacerlo en interés simple (tasas simples), pero en interés compuesto (tasas compuestas) no podemos hacerlo. Por lo cual, si tenemos una tasa del 12% anual y queremos la mensual, tenemos que buscar su equivalente (tasa equivalente).
Por lo cual, vas a necesitar tener muy presente este tema para poder resolver diferentes problemas a los que te puedes enfrentar en interés compuesto.
Definición de tasa nominal (inom) según autores
A continuación, te voy a compartir la definición de tasa nominal que he encontrado en algunos libros para que la tomes como base. Espero que te sea de utilidad.
Definición según Vidaurri Aguirre Héctor Manuel
«La tasa nominal es la tasa de interés convenida en una operación financiera y queda estipulada en el contrato; por esta razón también se llama tasa contractual»
(Vidaurri, Aguirre, Héctor Manuel, 2017, p. 218)
Definición según Díaz Mata Alfredo
«Es la tasa de interés expresada en forma anual que rige durante el lapso de una operación financiera»
(Díaz, Mata, Alfredo, 2020, p. 79)
Ecuación para obtener una tasa nominal (inom)
La ecuación que podemos utilizar para obtener una tasa nominal es la siguiente:
$$i_{nom} = f_c \left[ \sqrt[n]{1 + i_{ef}} – 1 \right]$$
- ief = tasa efectiva
- inom = tasa nominal
- fc = frecuencia de capitalización: se utilizará cuando me estén preguntando una tasa anual.
- n = tiempo, el cual será las veces que capitaliza la tasa nominal que estoy buscando en un año.
Definición de tasa efectiva (ief) según autores
Ahora, es el turno de aprender lo que es la tasa efectiva y para ello, vamos a ver lo que nos dicen algunos autores en sus libros.
Definición según Vidaurri Aguirre Héctor Manuel
«La tasa efectiva se define como la tasa de interés anual capitalizable una vez al año que es equivalente a una tasa nominal anual i capitalizable m veces al año . La tasa efectiva es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año debido a la capitalización de los intereses; es decir, en la tasa efectiva se refleja el efecto de la reinversión de los intereses. A la tasa efectiva también se le llama rendimiento anual efectivo»
(Vidaurri, Aguirre, Héctor Manuel, 2017, p. 220)
Definición según Díaz Mata Alfredo
«Es la tasa de interés efectivamente pagada o ganada en forma anual cuando se capitaliza el interés en periodos menores a un año»
(Díaz, Mata, Alfredo, 2020, p. 79)
¿Qué es la tasa efectiva?
Podría decirse que la tasa efectiva es lo que realmente se obtiene en un periodo determinado.
Ecuación para obtener una tasa efectiva
La ecuación que podemos utilizar para obtener una tasa efectiva es la siguiente:
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{i_{nom}}{f_c}\right)^n – 1$$
- ief = tasa efectiva
- inom = tasa nominal
- fc = frecuencia de capitalización, la cual se utilizará cuando la tasa es anual y necesitamos el periodo.
- n = tiempo, el cual será las veces que capitaliza mi tasa nominal en el periodo en el que busco mi tasa efectiva.
Definición de tasa equivalente (ieq) según autores
Por último, ahora vamos a ver qué es la tasa equivalente y vamos a aprenderlo a partir de algunos autores:
Definición según Vidaurri Aguirre Héctor Manuel
«Se dice que dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al final de un plazo dado»
(Vidaurri, Aguirre, Héctor Manuel, 2017, p. 218)
Definición según Díaz Mata Alfredo
«Son dos tasas de interés anuales diferentes, con distintos periodos de capitalización que al cabo de un año producen el mismo interés compuesto»
(Díaz, Mata, Alfredo, 2020, p. 79)
Ejercicios resueltos de tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes.
Para que puedas entender el tema, voy a poner algunos ejercicios resueltos. De esa forma podrás poner a prueba lo que has aprendido. Espero que te sean de utilidad.
Ejercicio 1: tasa nominal a efectiva.
1.- Supongamos que tenemos una tasa nominal del 12% anual capitalizable bimestralmente y quisiera saber la tasa efectiva en dos años.
Procedimiento
Para resolver este ejercicio, lo único que tenemos que hacer es sustituir los datos en la ecuación de tasa efectiva. Al sustituir los datos obtenemos lo siguiente:
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.12}{6}\right)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = 0.2682$$
El resultado que obtenemos es: 26.82% en 2 años.
Es importante destacar que la tasa nominal que nos dieron en el ejercicio capitaliza cada 2 meses, (bimestral) mientras que la tasa efectiva capitaliza sólo 1 vez en los 2 años.
Ejercicio 2
2.- ¿Cuál es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa del 14% convertible trimestralmente?
Procedimiento
El primer paso consiste en sacar la tasa efectiva de la tasa nominal que nos están dando. Al sustituir los datos obtenemos lo siguiente:
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.14}{4}\right)^4 – 1$$
$$i_{ef} = 0.1475$$
La tasa efectiva es de: 0.1475 o 14.75%
Ya que tenemos la tasa efectiva, ahora vamos a sacar la la tasa nominal de esa tasa efectiva. Vamos a sustituir los datos en la ecuación.
$$i_{nom} = 12 \left[ \sqrt[12]{1 + 0.1475} – 1 \right]$$
$$i_{nom} = 0.1383$$
Por lo tanto, la tasa nominal es de 13.83% anual capitalizable mensualmente. Ten en cuenta que en este caso el tiempo es 12, debido a que la tasa que estamos buscando es una tasa mensual y las veces que capitaliza en un año son 12. La fc también es 12 debido a que nos están pidiendo una tasa de todo el año que capitaliza mensualmente.
De hecho, si resuelves lo que está en el paréntesis, lo que obtendrías es la tasa mensual. Si multiplicas esa tasa mensual por los 12, entonces vamos a obtener la anual que capitaliza mensualmente.
En conclusión, si ahora mismo invertimos 1000 pesos a una tasa del 14% capitalizable trimestralmente; es lo mismo que invertir 1000 pesos a una tasa del 13.83% anual capitalizable mensualmente, en el mismo tiempo. En esencia, eso es lo que son las tasas equivalentes.
Ejercicio 3
3.- ¿Cuál es la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa del 7% semestral?
Procedimiento
Como en el ejemplo anterior, el primer paso consiste en obtener la tasa efectiva de la tasa nominal que nos han dado.
$$i_{ef} = (1 + 0.07)^2 – 1$$
$$i_{ef} = 0.1449$$
La tasa efectiva es de: 0.1449.
Ya que tenemos la tasa efectiva, ahora podemos sacar la tasa nominal.
$$i_{nom} = \sqrt[6]{1 + 0.1449} – 1$$
$$i_{nom} = 0.0228$$
La tasa nominal es de: 2.28% bimestral. Recuerda considerar que no se pone la fc, (en este caso) debido a que nos están pidiendo el periodo. Recuerda que en el ejercicio anterior dije que cuando se resuelve lo del paréntesis se obtiene lo del periodo.
Ejercicio 4: Tasa nominal a efectiva anual
4.- ¿Cuál es la tasa efectiva anual si tenemos una tasa nominal del 18% anual capitalizable mensualmente?
Procedimiento
Solo necesitamos aplicar la fórmula de la tasa efectiva para un año. Como la tasa se capitaliza mensualmente, habrá 12 periodos en el año.
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.18}{12}\right)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = (1 + 0.015)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = 0.1956$$
La tasa efectiva anual es del 19.56%.
Esto significa que el 18% nominal que paga intereses mes a mes, al final del año genera el mismo rendimiento que un pago único del 19.56%.
Ejercicio 5: Tasa efectiva a nominal
5.- Si una inversión nos ofrece una tasa efectiva anual del 15%, ¿cuál sería la tasa nominal anual capitalizable trimestralmente que generaría el mismo rendimiento?
Procedimiento
Aquí partimos de la tasa efectiva y queremos encontrar la nominal. Como es trimestral, sabemos que hay 4 trimestres en el año (m=4).
$$i_{nom} = 4 \left[ \sqrt[4]{1 + 0.15} – 1 \right]$$
$$i_{nom} = 4 [ 1.0355 – 1 ]$$
$$i_{nom} = 0.1422$$
La tasa nominal es de 14.22% anual capitalizable trimestralmente.
Ejercicio 6: Tasas equivalentes (Nominal a Nominal)
6.- ¿Cuál es la tasa nominal anual capitalizable mensualmente que es equivalente a una tasa del 20% anual capitalizable semestralmente?
Procedimiento
Primero, sacamos la tasa efectiva de la tasa que ya conocemos (20% semestral implica 2 periodos al año).
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.20}{2}\right)^2 – 1$$
$$i_{ef} = (1 + 0.10)^2 – 1$$
$$i_{ef} = 0.21$$
La tasa efectiva es de 0.21 o 21%.
Ahora buscamos la tasa nominal mensual (12 periodos) equivalente a ese 21% efectivo.
$$i_{nom} = 12 \left[ \sqrt[12]{1 + 0.21} – 1 \right]$$
$$i_{nom} = 12 [ 1.0160 – 1 ]$$
$$i_{nom} = 0.1921$$
La tasa equivalente es de 19.21% anual capitalizable mensualmente.
Ejercicio 7: Tasa nominal a efectiva (Más de un año)
7.- Tenemos un crédito con una tasa nominal del 9% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será la tasa efectiva acumulada al cabo de 3 años?
Procedimiento
Como la capitalización es trimestral (4 por año) y el plazo es de 3 años, el número total de periodos será 12 (4 x 3).
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.09}{4}\right)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = (1 + 0.0225)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = 0.3060$$
La tasa efectiva a 3 años es de 30.60%.
Ejercicio 8: Efectiva anual a tasa del periodo
8.- ¿Cuál es la tasa trimestral equivalente a una tasa efectiva anual del 12%?
Procedimiento
En este caso, no nos piden la tasa nominal anualizada, sino únicamente la del periodo (el trimestre). Por lo tanto, no multiplicamos por la frecuencia al final.
$$i_{trimestral} = \sqrt[4]{1 + 0.12} – 1$$
$$i_{trimestral} = 1.0287 – 1$$
$$i_{trimestral} = 0.0287$$
La tasa del periodo es 2.87% trimestral.
Ejercicio 9: Tasa de un periodo a otro periodo
9.- Si una tarjeta de crédito te cobra una tasa del 1.5% mensual, ¿cuál es la tasa efectiva semestral equivalente?
Procedimiento
Sabemos que un semestre tiene 6 meses. Vamos a capitalizar esa tasa mensual 6 veces para obtener el equivalente semestral.
$$i_{semestral} = (1 + 0.015)^6 – 1$$
$$i_{semestral} = 1.0934 – 1$$
$$i_{semestral} = 0.0934$$
La tasa efectiva semestral equivalente es del 9.34%.
Ejercicio 10: Conversión a capitalización diaria
10.- ¿Cuál es la tasa nominal anual capitalizable diariamente (año comercial de 360 días) equivalente a un 16% anual capitalizable mensualmente?
Procedimiento
Paso 1: Obtener la tasa efectiva anual.
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.16}{12}\right)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = (1 + 0.01333)^{12} – 1$$
$$i_{ef} = 0.1722$$
Paso 2: Obtener la tasa nominal diaria a partir de ese 17.22% (usando m=360).
$$i_{nom} = 360 \left[ \sqrt[360]{1 + 0.1722} – 1 \right]$$
$$i_{nom} = 360 [ 1.00044 – 1 ]$$
$$i_{nom} = 0.1589$$
La tasa equivalente es de 15.89% anual capitalizable diariamente.
Ejercicio 11: Efectiva de un periodo menor a efectiva anual
11.- Una inversión garantiza un rendimiento efectivo del 5% cada semestre. ¿Cuál es su tasa efectiva anual?
Procedimiento
Dado que ya es una tasa efectiva por semestre, solo necesitamos capitalizarla las veces que el semestre cabe en un año (2 veces).
$$i_{ef\_anual} = (1 + 0.05)^2 – 1$$
$$i_{ef\_anual} = 1.1025 – 1$$
$$i_{ef\_anual} = 0.1025$$
La tasa efectiva anual es del 10.25%.
Ejercicio 12: Nominal a efectiva en fracción de año
12.- Supongamos una tasa nominal del 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la tasa efectiva que se genera en tan solo 8 meses?
Procedimiento
Como la capitalización es mensual, la tasa se dividirá entre 12. Pero como solo queremos la tasa para 8 meses, el exponente de los periodos será 8.
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.24}{12}\right)^8 – 1$$
$$i_{ef} = (1 + 0.02)^8 – 1$$
$$i_{ef} = 1.1716 – 1$$
$$i_{ef} = 0.1716$$
La tasa efectiva generada en esos 8 meses es de 17.16%.
Ejercicio 13: De mayor a menor frecuencia de capitalización
13.- ¿Cuál es la tasa nominal anual convertible semestralmente equivalente a una tasa del 10% anual convertible diariamente (año de 360 días)?
Procedimiento
Primero hallamos la tasa efectiva generada por la tasa diaria.
$$i_{ef} = \left(1 + \frac{0.10}{360}\right)^{360} – 1$$
$$i_{ef} = 1.1051 – 1$$
$$i_{ef} = 0.1051$$
Ahora usamos esa tasa efectiva del 10.51% para encontrar la nominal semestral (m=2).
$$i_{nom} = 2 \left[ \sqrt[2]{1 + 0.1051} – 1 \right]$$
$$i_{nom} = 2 [ 1.0512 – 1 ]$$
$$i_{nom} = 0.1024$$
La tasa nominal equivalente es del 10.24% anual convertible semestralmente.
Ejercicios de tasa nominal, efectiva y equivalente en pdf gratis
A continuación, te voy a compartir otros 10 ejercicios sobre la conversión de tasas, pero ahora en formato pdf para que puedas descargarlo y utilizarlo en cualquier momento para estudiar. Espero que te sea de utilidad.
La tasa nominal es una tasa de referencia que no considera la capitalización de los intereses durante el periodo. Por otro lado, la tasa efectiva es la tasa real que se paga o se gana en una inversión o préstamo, ya que sí toma en cuenta la reinversión de los intereses (frecuencia de capitalización).
Dos tasas de interés son equivalentes cuando, a pesar de tener diferente periodo de capitalización o diferente valor numérico, producen el mismo rendimiento o interés efectivo al final de un mismo plazo determinado.
Para convertir una tasa nominal a efectiva, se debe dividir la tasa nominal entre el número de periodos de capitalización al año, sumar uno a este resultado, elevarlo al número de periodos totales del plazo y finalmente restar uno al resultado.
En esta guía puedes descargar un PDF gratuito con ejercicios resueltos paso a paso que cubren conversiones de tasa nominal a efectiva, de tasa efectiva a nominal, y el cálculo de tasas equivalentes con diferentes frecuencias de capitalización.
Bibliografía
- Mata, A. D. (2020). Matemáticas financieras. México: McGraw-Hill Education.
- Vidaurri, A. H. M. (2017). Matemáticas financieras (6a. ed.). México: Cengage Learning.
