En el artículo de hoy voy a enseñarte lo que es el reparto proporcional directo e indirecto, asimismo, voy a resolver algunos problemas para que te quede más claro el tema.
¿Qué es el reparto proporcional (repartimiento proporcional)?
Como no podía ser de otra forma, voy a empezar por la teoría, es decir , voy a ponerte la definición para que entiendas el concepto.
Zendejas Núñez Hugo nos da la siguiente definición de reparto proporcional (repartimiento proporcional):
«El reparto proporcional es la operación que tiene por objeto repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a ciertos factores o números dados llamados de reparto«
Lo que nos quiere decir la definición anterior de reparto proporcional es que vamos a necesitar realizar un cálculo matemático para dividir o distribuir algo (el total que se va a repartir como pueden ser las ganancias de un negocio, los costos o la comida). Sin embargo, no vamos a repartir la cantidad en partes iguales para todos, sino que se va a realizar la distribución de manera más justa y equitativa, dependiendo de un criterio en específico. Por ejemplo, quien aporte más o tenga más mérito, recibe más y quien tenga menos, recibe menos.
Elementos que se utilizan en todo problema de reparto proporcional
Los elementos que siempre vas a encontrar en un problema de repartición proporcional son los siguientes:
| Elemento | Descripción |
| Cocientes de reparto | Es la cantidad que le corresponde a cada uno de los beneficiarios. |
| Índice de reparto | Son los factores que determinan el reparto asignado a cada uno de los beneficiarios. |
| Cantidad por repartir | Es el importe sujeto a la distribución entre los beneficiarios. |
Clasificación del reparto proporcional
El reparto proporcional puede clasificarse en directo simple, directo compuesto, inverso simple, inverso compuesto y mixto.
Bueno, a continuación, te voy a hablar un poco más de estos tipos:
Directo simple
Es la repartición en la que interviene un solo factor. Asimismo, tienes que considerar que a mayor número de unidades que indique el índice de reparto, mayor será la parte que le corresponda.
En pocas palabras, lógica es «a más, más». Es decir, quien tenga un número mayor en ese factor, recibe una rebanada más grande del pastel. Por ejemplo, si tú invertiste $10,000 y tu socio $5,000, a ti te toca una mayor parte de las ganancias porque tu índice de reparto (dinero aportado) es mayor.
Directo compuesto
Bueno, a diferencia de la repartición directa simple, en la directa compuesta intervienen dos o más factores. Asimismo, al igual que en el simple, a mayor número de unidades, le corresponde mayor cantidad de lo repartido.
Por ejemplo, se pueden repartir las ganancias basándose en el dinero invertido y tiempo invertido por cada uno de los socios. Si tú pusiste $10,000 durante 12 meses, y tu socio puso $10,000 pero solo durante 6 meses. Aunque invirtieron lo mismo, a ti te toca más porque al combinar ambos factores (dinero y tiempo), tu «puntaje» total es mayor.
Inverso simple
Al igual que en el directo simple, en la repartición proporcional inversa simple, únicamente interviene un solo factor. En este caso, a mayor número de unidades del índice de reparto, menor es la cantidad que le corresponde al beneficiario.
Es decir que la lógica es «a más, menos». Aquí, tener un número alto te perjudica o significa que necesitas menos. Podemos ver este tipo de reparto proporcional si nos ponemos a repartir un premio en una carrera de atletismo en donde nos vamos a basar en el tiempo que tardan los competidores en llegar a la meta. Creo que estarás de acuerdo que quien hizo más minutos (tardó más), recibe menos premio. El que hizo menos tiempo, se lleva la mayor cantidad. ¿cierto?
Inverso compuesto
Como ya te lo debes de estar imaginando, en el reparto proporcional inverso compuesto intervienen dos o más factores. Además, cuando el índice de reparto es mayor, menor será la cantidad que le corresponda al beneficiario.
Por ejemplo, si un empleado tiene muchas faltas y muchos errores, la cantidad de bono que le corresponderá será la menor de todas.
Mixto
Intervienen uno o más factores directamente proporcionales, y otro u otros inversamente proporcionales. Un ejemplo podría ser el siguiente: Repartir un bono mensual a vendedores basándose en las ventas realizadas (factor directo: a más ventas, más bono) y en las quejas de los clientes (factor inverso: a más quejas, menos bono).
Métodos para resolver problemas de reparto proporcional
Para que puedas resolver un problema de repartición proporcional existen tres métodos, los cuales son:
- Reducción a la unidad.
- Por proporciones.
- Por partes alícuotas.
Reparto proporcional con el método por reducción a la unidad
Consiste en determinar cuánto de la cantidad por repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto; se obtiene mediante la división de la cantidad por repartir entre la suma de los índices de reparto, que origina lo que se llama «Factor constante ($F_c$)»:
$$F_c = \frac{\text{Cantidad por repartir}}{\text{Suma de los índices de reparto}}$$
Ejemplo
Supongamos que se va a repartir una herencia de $\$150,000$ pesos entre tres hermanos, en proporción directa con sus edades. Las edades de los tres hermanos son las siguientes:
- Eduardo: 25 años.
- Mario: 15 años.
- Gael: 10 años.
Los datos que tenemos son:
| Concepto | Valor |
| Cantidad por repartir: | $\$150,000$ pesos |
| Índices de reparto: | $25, 15 \text{ y } 10$ |
| Suma de índices de reparto: | $50$ |
| Cocientes de reparto: | $X_1, X_2, X_3$ |
Solución por reducción a la unidad:
Para poder llevar a la solución, primero tenemos que ocupar la fórmula antes mencionada y así obtener el factor constante:
$$F_c = \frac{150,000}{50} = 3,000$$
El factor constante que acabamos de obtener indica que por cada año que cada uno de los hermanos tenga, se le otorgarán $\$3,000$ pesos. Por lo tanto, para conocer cuánto dinero le corresponde en total a cada hermano, únicamente tenemos que multiplicar la cantidad de años que cada uno posee por $3,000$.
| Beneficiario | Operación y Resultado |
| $X_1$: Eduardo | $25 \times 3,000 = 75,000$ |
| $X_2$: Mario | $15 \times 3,000 = 45,000$ |
| $X_3$: Gael | $10 \times 3,000 = 30,000$ |
Como puedes ver en la tabla anterior, si sumas la cantidad que le corresponde a cada hermano, te da los $\$150,000$ pesos de la herencia.
Reparto proporcional con el método por proporciones
Como su nombre lo indica, el método por proporciones utiliza el mismo concepto de proporción para resolver el problema, es decir, hace la igualación de dos razones.
Ejemplo
Para que puedas ver que el resultado es el mismo, vamos a resolver el mismo problema, pero con el método por proporciones.
Solución:
Para empezar, a un total de $50$ años (la suma de las edades), le corresponde un total de $\$150,000$ pesos (cantidad a repartir). Ahora bien, también sabemos que a cada edad le corresponde cierta cantidad…. ¿Cierto? Bueno, ahora vamos a expresar el problema en proporciones.
En el primer caso (Eduardo), queda de la siguiente forma:
$$50 \text{ años} : 150,000 :: 25 : X_1$$
Por lo tanto, la solución de $X_1$ es:
$$X_1 = \frac{150,000 \times 25}{50} = 75,000$$
En el segundo caso (Mario), queda de la siguiente forma:
$$50 \text{ años} : 150,000 :: 15 : X_2$$
Por lo tanto, la solución de $X_2$ es:
$$X_2 = \frac{150,000 \times 15}{50} = 45,000$$
En el último caso (Gael), queda de la siguiente forma:
$$50 \text{ años} : 150,000 :: 10 : X_3$$
Por lo tanto, la solución de $X_3$ es:
$$X_3 = \frac{150,000 \times 10}{50} = 30,000$$
Como puedes ver, llegamos a la misma respuesta que con el método anterior.
Reparto proporcional con el método por partes alícuotas
Para resolver un problema de reparto proporcional por este método, se tiene que buscar una parte que sea submúltiplo de todos los índices de reparto.
Ejemplo
De nuevo voy a utilizar el mismo ejemplo para que puedas ver que en efecto, puedes utilizar el método que deseas para resolver un problema.
En primer lugar, tenemos que considerar que la suma de los índices de reparto (años) son $50$. Ahora bien, Gael tiene $10$ años, lo cual es una quinta parte de la suma de los índices de reparto. Por lo tanto, podemos concluir que a Gael le debe corresponder una quinta parte de la cantidad a repartir, es decir, a Gael le tocan:
$$\frac{150,000}{5} = 30,000$$
Ahora vamos a ver el caso de Mario. Mario tiene $15$ años, lo que significa que Mario tiene una vez y media los de Gael. Así pues, le debe corresponder esa misma proporción, es decir:
$$30,000 + 15,000 = 45,000$$
Por último, Eduardo tiene la edad de Mario más la de Gael. Por lo tanto, la cantidad que le va a tocar es la suma de ambas, es decir:
$$30,000 + 45,000 = 75,000$$
Como puedes ver, las respuestas son las mismas. Ahora bien, ya que sabemos cuáles son los casos (clasificación) y las formas de resolverlos, voy a poner ejemplos de cada caso (clasificación de reparto proporcional).
Ejemplos resueltos de reparto proporcional
A continuación, te voy a proporcionar algunos ejemplos resueltos de reparto proporcional para que puedas aplicar la teoría.
Ejemplo de reparto proporcional directo simple
En el siguiente problema, tienes que determinar el índice de reparto.
Un inversionista compró un pagaré por $\$150,000$ y cobró un interés de $\$25,000$. ¿Cuánto invierte el inversionista B que cobró por intereses en el mismo periodo $\$18,000$?
Solución
Para darle solución al problema, voy a utilizar el método por proporciones. Por lo tanto, en primer lugar voy a expresar el problema como una proporción.
$$\text{Índice} : \text{Cociente} :: \text{Índice} : \text{Cociente}$$
$$150,000 : 25,000 :: X : 18,000$$
Por lo tanto, la respuesta se calcula de la siguiente manera:
$$X = \frac{150,000 \times 18,000}{25,000} = 108,000$$
Por lo tanto, el inversionista tuvo que comprar un pagaré por $\$108,000$.
Ejemplo de reparto proporcional directo compuesto
En el siguiente problema, tienes que determinar los cocientes de reparto.
En la empresa Beta S.A., los empleados tienen constituido un fondo de inversión al cual han aportado cada mes:
| Empleado | Aportación |
| Empleado A | $\$4,000$ durante 1 año |
| Empleado B | $\$5,000$ durante 9 meses |
| Empleado C | $\$4,000$ durante 6 meses |
Al finalizar el año, el saldo de este fondo era de $\$20,000$. ¿Cuánto le corresponde a cada empleado?
Solución
En este caso voy a utilizar el método por reducción a la unidad, por lo tanto, voy a empezar con lo siguiente:
- $A = 4,000 \times 12 \text{ meses} = 48,000$
- $B = 5,000 \times 9 \text{ meses} = 45,000$
- $C = 4,000 \times 6 \text{ meses} = 24,000$
Si sumamos A, B y C, obtenemos $\$117,000$.
Ahora bien, vamos a utilizar la fórmula del método por reducción a la unidad y obtenemos:
$$F_c = \frac{20,000}{117,000} \approx 0.17094$$
Ahora solo nos queda multiplicar:
- $A = 48,000 \times 0.17094 = \mathbf{\$8,205.12}$
- $B = 45,000 \times 0.17094 = \mathbf{\$7,692.32}$
- $C = 24,000 \times 0.17094 = \mathbf{\$4,102.56}$
Si sumas A, B y C, verás que te da el saldo del fondo ($\$20,000$).
Ejemplo de reparto proporcional inverso simple
Como ya sabes, en estos casos, el cociente de reparto es mayor a medida que el índice de reparto es menor. Por lo tanto, para resolver estos problemas, lo que tienes que hacer es tomar los inversos de los números dados como índice de reparto, y ya que se han invertido, llevas a cabo el procedimiento de reparto directo simple.
No te preocupes si aún no lo entiendes del todo, te voy a poner un ejemplo para que te quede claro.
En el siguiente problema, tienes que determinar el cociente de reparto.
El señor Ramírez celebró un contrato de administración de inversión y estableció que el beneficio de la inversión se reparta entre sus tres hijos en proporción inversa a las edades.
Las edades de los hijos del señor Ramírez son las siguientes:
| Hijo | Edad |
| Hijo A | Tiene 20 años |
| Hijo B | Tiene 18 años |
| Hijo C | Tiene 12 años |
Los beneficios ascendieron a $\$320,000$ por año.
Solución
Para poder determinar los índices, vamos a proceder de la siguiente manera:
A) Se obtendrán los índices originales:
- $A = 20$
- $B = 18$
- $C = 12$
B) Vamos a obtener sus recíprocos:
- $A = \frac{1}{20}$
- $B = \frac{1}{18}$
- $C = \frac{1}{12}$
C) Vamos a obtener un denominador común para poder simplificarlos. El mínimo común múltiplo de $20, 18 \text{ y } 12$ es $180$.
Ahora vamos a convertir los tres índices que tenemos para que tengan un denominador común ($180$):
- $A = \frac{9}{180}$
- $B = \frac{10}{180}$
- $C = \frac{15}{180}$
Entonces tenemos que:
- $A = 9$
- $B = 10$
- $C = 15$
Ahora lo que se tiene que hacer es sumar los índices que obtuvimos y obtenemos que:
$$9 + 10 + 15 = \mathbf{34}$$
Por lo tanto, ya podemos utilizar el método por reducción a la unidad y vamos a obtener el Factor constante:
$$F_c = \frac{320,000}{34} \approx 9,411.7647$$
Por consiguiente, lo único que nos resta es multiplicar:
- $A = 9 \times 9,411.7647 = \mathbf{\$84,705.8823}$
- $B = 10 \times 9,411.7647 = \mathbf{\$94,117.647}$
- $C = 15 \times 9,411.7647 = \mathbf{\$141,176.4705}$
Ejemplo de reparto proporcional inverso compuesto
Como ya sabes, en el reparto proporcional inverso compuesto se presentan dos o más factores, los cuales se multiplican para obtener su inverso, y donde se determina un denominador común a fin de convertirlos en unidades de igualdad, es decir, en un reparto directo simple.
En el siguiente problema, tienes que determinar el cociente de reparto.
En un concurso de traducción se repartió un premio de $\$250,000$, en proporción inversa al tiempo de duración y a las faltas cometidas. Los concursantes terminaron en la siguiente forma:
| Concursante | Desempeño |
| Concursante A | 45 minutos y 8 faltas |
| Concursante B | 40 minutos y 12 faltas |
| Concursante C | 50 minutos y 6 faltas |
| Concursante D | 60 minutos y 2 faltas |
solución
Utilizando el método por proporciones. A continuación voy a poner una tabla en donde voy a resumir los pasos hasta llegar a los índices definitivos. Cabe resaltar que no voy a poner todo el procedimiento debido a que se parece al del ejemplo anterior.
| Índices originales | Producto de índices | Recíprocos | Denominador común | Índices definitivos |
| $A = 45 \times 8$ | $360$ | $\frac{1}{360}$ | $7200$ | $20$ |
| $B = 40 \times 12$ | $480$ | $\frac{1}{480}$ | $7200$ | $15$ |
| $C = 50 \times 6$ | $300$ | $\frac{1}{300}$ | $7200$ | $24$ |
| $D = 60 \times 2$ | $120$ | $\frac{1}{120}$ | $7200$ | $60$ |
| Total | $119$ |
Bueno, ahora ya podemos expresarlo como una proporción:
En el caso del concursante A:
$$119 : 250,000 :: 20 : A$$
Por lo cual, la respuesta es:
$$A = \frac{250,000 \times 20}{119} = \mathbf{\$42,016.80672}$$
En el caso del concursante B:
$$119 : 250,000 :: 15 : B$$
Por lo cual la respuesta es:
$$B = \frac{250,000 \times 15}{119} = \mathbf{\$31,512.60504}$$
En el caso del concursante C:
$$119 : 250,000 :: 24 : C$$
Por lo tanto, la respuesta es:
$$C = \frac{250,000 \times 24}{119} = \mathbf{\$50,420.16807}$$
Por último, el concursante D:
$$119 : 250,000 :: 60 : D$$
Por lo cual, la respuesta es:
$$D = \frac{250,000 \times 60}{119} = \mathbf{\$126,050.4202}$$
Si haces la suma de lo que cada concursante va a recibir, verás que obtienes los $\$250,000$.
