Una vez que conoces lo que es el interés simple y cómo funciona, es tiempo de que subas de nivel y aprendas sobre el funcionamiento del interés compuesto.
Definición de interés compuesto según autores
A continuación, con el objetivo de que empieces a percibir lo que es el interés compuesto, te voy a poner algunas definiciones. Por supuesto, al final podrás ver la bibliografía. Asimismo, antes de pasar a ver lo que es el interés compuesto, tienes que conocer lo que es el interés simple.
Si deseas conocer lo que es el interés simple, puedes ir al siguiente artículo. Bueno, la verdad es que si no sabes de interés simple, entonces no deberías de comenzar a aprender lo que es el interés compuesto. Lo que te recomiendo es que primero domines lo que es el interés simple y luego regreses a este artículo: ▷ Interés simple ◁
Definición de interés compuesto según Díaz Mata Alfredo y Aguilera
«Es la operación financiera en la que se capitalizan (se incrementa al capital original invertido) los intereses ganados, en periodos previamente acordados, con lo cual, a su vez, generan nuevos intereses»
(Díaz, Mata, Alfredo y Aguilera, 2020, p. 71)
¿Qué es el interés compuesto según Héctor Manuel Vidaurri Aguirre?
«El interés compuesto se puede definir como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos»
(Vidaurri, Aguirre, Héctor, Manuel, 2017, p. 182)
Definición según Álvarez Arango Alberto
«A diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización»
(Álvarez, Arango, Alberto, 2005, p. 8)
¿Qué es el interés compuesto?
En el interés simple, el capital siempre es el mismo, es decir, se mantiene constante. Por otra parte, en el interés compuesto, el capital va cambiando su valor con el tiempo. El capital va cambiando debido a que los intereses se van sumando al capital.
Explicación con ejemplo
Para que puedas ir viendo el funcionamiento del interés compuesto, voy a empezar con un ejemplo: supongamos que tenemos $100 pesos y lo queremos invertir a una tasa del 30% mensual (compuesta).
En la tabla usé la fórmula de monto de interés simple. Lo estoy haciendo así para que puedas relacionar el interés simple con el interés compuesto. Por supuesto, con sus modificaciones correspondientes, por ejemplo, en el tiempo.
Como puedes ver, los intereses se suman al capital y se va generando un nuevo monto cada mes que pasa y se mantendrá así el tiempo que se requiera. Cabe destacar que digo cada mes debido a que es así en este ejemplo, pero, no siempre será cada mes.
Ahora voy a poner una tabla en la que se muestra la forma en que se va comportando el interés compuesto.
$$M_1 = C(1 + i)$$
$$M_2 = C(1 + i)(1 + i)$$
$$M_3 = C(1 + i)(1 + i)(1 + i)$$
$$M_4 = C(1 + i)(1 + i)(1 + i)(1 + i)$$
A continuación, voy a sustituir los datos del ejemplo anterior para que puedas ver que es verdad.
$$M_1 = 100(1 + 0.30) = 130$$
$$M_2 = 130(1 + 0.30) = 169$$
$$M_3 = 169(1 + 0.30) = 219.7$$
$$M_4 = 219.7(1 + 0.30) = 285.6$$
Lo que quiero que veas de la tabla anterior es que el monto del primer mes se convierte en el capital del segundo mes y el monto del segundo mes se convierte en el capital del tercer mes. Por supuesto, así seguirá hasta que se necesite. En pocas palabras, queda de la siguiente forma:
$$M_1 = C(1 + i)$$
$$M_2 = M_1(1 + i)$$
$$M_3 = M_2(1 + i)$$
$$M_4 = M_3(1 + i)$$
Siguiendo esa lógica es como podemos simplificar las multiplicaciones quedando con un exponente. La fórmula que obtenemos es la siguiente:
$$M = C(1 + i)^n$$
Respuesta del ejemplo con la fórmula de monto en interés compuesto
Si utilizamos la fórmula de monto que hemos obtenido, la cual es la fórmula que se utiliza en interés compuesto, obtenemos lo siguiente:
$$M = 100(1 + 0.30)^4$$
$$M = 285.61$$
Como puedes ver, llegamos al mismo resultado que hemos estado obteniendo. Cabe destacar que la n es el tiempo. En este caso es 4 debido a que son 4 meses lo que se dejó el dinero. Por lo cual, al cabo de 4 meses recibirías $285.6 pesos si inviertes 100 a una tasa del 30%.
Conceptos necesarios
Como ya has podido notar, es necesarios que cuentes con algunas bases para que puedas entender lo que es el interés compuesto. Hay conceptos que ya debes de conocer, debido a que ya deberías de conocer lo que es el interés simple.
Ahora bien, voy a hablar de algunos conceptos que son nuevos y que se van a necesitar para que podamos comenzar a resolver problemas.
1. Periodo de capitalización:
Es el periodo convenido para convertir el interés en capital. Por ejemplo, si una operación se capitaliza trimestralmente, quiere decir que cada tres meses los intereses generados se agregan al capital para generar nuevos intereses en los siguientes periodos.
Por supuesto, puede ser el tiempo que se desee, pero comúnmente se manejan:
- Mensualmente.
- Bimestralmente.
- Trimestralmente.
- Semestralmente.
- Anualmente.
Nota: en el ejemplo anterior, era mensualmente.
2. Frecuencia de capitalización
En pocas palabras, es el número de veces que el interés se capitaliza en un año. Por ejemplo, una tasa que capitaliza mensualmente tiene una frecuencia de capitalización de 12. Esto es debido a que un año tiene 12 meses, entonces su frecuencia de capitalización es de 12.
Ahora bien, si fuese bimestralmente, entonces el periodo de capitalización es bimestral (porque cada dos meses se van a sumar intereses) y la frecuencia de capitalización es de 6. Es 6 debido a que un año tiene 6 bimestres.
¿Cuál sería la frecuencia de capitalización si la tasa capitaliza semestralmente?
Nota importante 👈
Las tasas compuestas pueden ser divididas únicamente entre su propia frecuencia de capitalización. Por ejemplo, una tasa que capitaliza semestralmente sólo puede ser dividida entre 2, ya que 2 es su frecuencia de capitalización.
Te recomiendo que repases muy bien los conceptos que he mencionado.
Otro aspecto importante que tienes que tomar en cuenta es que el tiempo y la tasa tienen que estar siempre en la misma nomenclatura. Tal vez no tenga que recordarte esto, debido a que también es una regla de oro en interés simple, pero no está de más recordarlo.
Fórmulas en interés compuesto
Sé que con la ecuación de monto ya podrías despejar y obtener lo que necesitas, pero aún así te voy a dejar todos los despejes.
Fórmula para obtener el monto en interés compuesto
$$M = C(1 + i)^n$$
Fórmula para obtener el capital en interés compuesto
$$C = \frac{M}{(1 + i)^n}$$
También se puede ver la ecuación como un cociente, pero depende de la forma en que te acomodes.
Fórmula para obtener la tasa de interés en interés compuesto
$$i = \sqrt[n]{\frac{M}{C}} – 1$$
Fórmula para obtener el tiempo en interés compuesto
$$n = \frac{\log(M/C)}{\log(1 + i)}$$
Fórmula para obtener el interés
$$I = M – C$$
Recuerda que no necesitas memorizar todas, ya que basta con memorizar una y las demás puedes obtenerlas cuando quieras. Lo único que necesitas hacer es despejar. Bueno, tengo que aclarar que la primera ecuación sí es diferente.
Aunque, es de cierta forma de sentido común, ya que si al monto o valor futuro le restamos el capital o valor presente, entonces obtenemos los intereses generados.
Ejercicios de Interés compuesto
Ahora sí vamos a empezar con los ejercicios resueltos de interés compuesto. A continuación, te voy a dejar 14 ejercicios resueltos de interés compuesto para que puedas practicar. Además, te voy a dejar una calculadora de interés compuesto para que puedas resolver tus ejercicios.
Espero que te sean de utilidad y recuerda que puedes dejarme tus dudas en los comentarios.
Ejercicio 1 de interés compuesto: Obtener el capital
Emmanuel quiere comprar una casa que cuesta $1,000,000. Si le pidieron que entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de dos años, al término de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero tiene que depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo en el plazo correspondiente? Considera que la tasa de interés es del 10% anual capitalizable mensualmente.
Solución del ejercicio 1
Bueno, el problema nos está diciendo que Emmanuel quiere invertir hoy una cantidad x en el banco, la cual deberá de generarle intereses y con los cuales podrá liquidar su adeudo en 2 años. Es decir, va a invertir hoy una cantidad de dinero y lo dejará ahí por dos años. Cuando tenga que pagar el dinero, (en 2 años) únicamente tendrá que retirar su dinero y pagar la deuda.
Ahora bien, sabemos que en 2 años tenemos que pagar $500,000. Esto es debido a que es el 50% de la cantidad acordada. Si queremos conocer lo que tenemos que invertir hoy para que en dos años podamos recibir $500,000. Entonces, vamos a utilizar la ecuación de capital.
La ecuación de capital es la siguiente:
$$C = \frac{M}{(1 + i)^n}$$
Ahora, vamos a sustituir los datos que tenemos en la ecuación de capital:
$$C = \frac{500000}{\left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{24}}$$
Por lo cual, el resultado es: $409,704.77
- En este problema nos vamos a enfrentar con el hecho de que la tasa de interés y el tiempo tienen que estar en la misma unidad de medida. En este problema nos dan el tiempo en años y la tasa de interés no es anual, sino que capitaliza mensualmente. Por lo cual, tenemos que convertir uno de los dos para que estén en la misma unidad. Para que sea más fácil, yo convertí los 2 años a meses (24 meses).
- Cabe destacar que, en interés compuesto se tiene que convertir la tasa de interés que nos dan en una tasa equivalente. La tasa equivalente es de 0.1047 o 10.47% anual. Si deseas aprender sobre tasa nominal, efectiva y equivalente, entonces pulsa el siguiente enlace: Tasa nominal, efectiva y equivalente
En conclusión, si hoy voy al banco e invierto $409,704.77 pesos a una tasa de interés del 10% anual capitalizable mensualmente por 2 años, entonces voy a ser capaz de obtener $500,000 pesos.
Cabe destacar que las dos ecuaciones son iguales y la puse porque puedes encontrar ambas formas en los libros. Puedes sustituir los datos en la primera ecuación y verás que el resultado es el mismo.
Nota: Si quieres comprobar que realmente es la cantidad que deseas, puedes utilizar la ecuación de monto. Utilizando como capital los $409,704.77. Asimismo, tienes que tomar en cuenta que no estoy utilizando todos los decimales. Si quieres que tu resultado sea exacto, entonces tienes que tomar todos los decimales.
Ejercicio 2 de interés compuesto
¿Cuánto producirá de interés un capital de $10,000 impuesto al 9% semestral en 5 años?
Solución del ejercicio 2
En primer lugar, tienes que recordar que el interés es igual al monto menos el capital. Ahora bien, ya tenemos el capital, (10,000), tenemos que sacar el monto. La ecuación de monto es la siguiente:
$$M = C(1 + i)^n$$
Tengo que decir que es un ejercicio sencillo, pero tiene una pequeña trampa. Esto lo digo debido a que la tasa es semestral y el tiempo está en años. Aquí puedes usar lo que aprendiste de tasas y encontrar la tasa equivalente a un año. Si haces eso puedes utilizar el tiempo (n) como 5.
También puedes dejar la tasa como está y utilizar la n en semestres. Tú decides la forma en que deseas resolverlo. Por supuesto, puedes hacerlo de ambas formas para que puedas comprobar que te da el mismo resultado. Resolviendo con n en semestres (10 semestres):
$$M = 10000(1 + 0.09)^{10}$$
El resultado es: 23,673.636
Por último, lo que tenemos que hacer es restar el capital al monto, es decir, 23,673.636 – 10,000 = $13,673.636. Ese es el interés que se va a producir en 5 años.
Ejercicio 3 de interés compuesto
¿Qué interés producirá un capital de $25,000 al 36% anual en 4 años?
Solución del ejercicio 3
En este caso, sí podemos utilizar la ecuación de monto sin tener que utilizar una tasa equivalente o modificar el tiempo.
$$M = 25000(1 + 0.36)^4$$
El resultado es: 85,525.50
El interés es igual a 85,525.5 – 25,000 = 60,525.50
Ejercicio 4 de interés compuesto
¿Qué interés producirá un capital de $25,000 al 16.619% semestral en 4 años?
Solución del ejercicio 4
Yo sé que es muy similar al anterior, pero esa es la intención. Esto es debido a que quiero que veas que las dos tasas que se manejan son equivalentes.
$$M = 25000(1 + 0.16619)^8$$
El resultado es: 85,525.28. Por cierto, yo sé que sale .28 y no .50. Esto es porque no se usaron todos los decimales. Cuando se saca la tasa equivalente con todos los decimales, sale: 0.166190379. Si utilizas esa tasa, sí vas a obtener el mismo resultado.
Por último, se tiene que hacer la resta: 85,525.28 – 25,000 = 60,525.28. Por supuesto, si utilizas todos los decimales de la tasa, entonces, la resta será de 85,525.50 – 25,000 = 60,525.50
Nota: como puedes ver, las tasas equivalentes te dan un monto igual. Además, es importante que veas que si no utilizas todos los decimales, tu resultado no va a ser muy exacto.
Ejercicio 5 de interés compuesto
Encuentre la tasa de un monto de $67,614.74, producido por un capital de $16,842.32 en 4 años.
Solución del ejercicio 5
Ya que nos están pidiendo encontrar la tasa, entonces, vamos a utilizar la ecuación de tasa. La ecuación de tasa es la siguiente:
$$i = \sqrt[n]{\frac{M}{C}} – 1$$
Si sustituimos los datos, tenemos lo siguiente:
$$i = \sqrt[4]{\frac{67614.74}{16842.32}} – 1$$
El resultado es de: 41.5499%
Ejercicio 6 de interés compuesto
Se desea saber el tiempo de una inversión, si como capital se impusieron $70,000 al 30% anual y originó un monto de $259,905.10.
Solución del ejercicio 6
En este caso nos están pidiendo el tiempo, por lo cual, tenemos que utilizar la ecuación del tiempo en interés compuesto:
$$n = \frac{\log(M/C)}{\log(1 + i)}$$
Sustituyendo los datos en la ecuación del tiempo nos queda lo siguiente:
$$n = \frac{\log(259905.10 / 70000)}{\log(1 + 0.30)}$$
La respuesta es: 5 años.
Ejercicio 7
Supongamos que tenemos una inversión inicial de $10,000 con una tasa de interés anual del 5%. ¿Cuál será el valor de la inversión después de 3 años, si el interés se capitaliza mensualmente?
Solución del ejercicio 7
Primero, debemos recordar que la tasa que nos están dando es una tasa anual que capitaliza mensualmente. Por lo cual, no podemos poner 0.05 en la ecuación. Lo que hay que hacer es dividir 0.05 entre 12 (porque un año tiene 12 meses).
Ahora bien, ya que este ejercicio nos está pidiendo calcular el monto, entonces vamos a usar la ecuación para encontrar el monto en interés compuesto, la cual es:
$$M = C(1 + i)^n$$
Al sustituir los valores en la ecuación obtenemos lo siguiente:
$$M = 10000\left(1 + \frac{0.05}{12}\right)^{36}$$
$$M = 11614.72$$
Por lo tanto, el valor de la inversión después de 3 años sería de $11,614.72
Ejercicio 8
Supongamos que queremos tener $15,000 dentro de 5 años y nos dicen que podemos obtener una tasa de interés anual del 7%, capitalizada mensualmente. ¿Cuál es la cantidad de dinero que debemos invertir hoy?
Solución del ejercicio 8
En este ejercicio nos están pidiendo que encontremos el capital. Por lo cual, lo que tenemos que hacer es utilizar la fórmula de capital en interés compuesto. La ecuación es la siguiente:
$$C = \frac{M}{(1 + i)^n}$$
Si sustituimos los datos obtenemos lo siguiente:
$$C = \frac{15000}{\left(1 + \frac{0.07}{12}\right)^{60}}$$
$$C = 10581.07$$
Por lo tanto, debemos invertir $10,581.07 hoy para obtener $15,000 dentro de 5 años.
Ejercicio 9
Supongamos que invertimos 5,000 a una tasa de interés anual del 8%. Si queremos que nuestra inversión crezca a $10,000, ¿cuántos años debemos esperar?
Solución del ejercicio 9
Ya que claramente nos están pidiendo que encontremos el tiempo, vamos a utilizar la fórmula para calcular el tiempo en interés compuesto, la cual es la siguiente:
$$n = \frac{\log(M/C)}{\log(1 + i)}$$
Si sustituimos los datos obtenemos lo siguiente:
$$n = \frac{\log(10000 / 5000)}{\log(1 + 0.08)}$$
- = 9.0064 años.
Por lo tanto, debemos esperar aproximadamente 9 años para que nuestra inversión crezca a $10,000.
Ejercicio 10: Calcular la tasa de interés
Supongamos que invertimos $10,000 durante 5 años y obtenemos $15,000 al final del plazo. ¿Cuál fue la tasa de interés anual que obtuvimos?
Solución del ejercicio 10
Ya que nos están pidiendo que encontremos la tasa de interés, vamos a usar la ecuación específica para calcular la tasa en interés compuesto, la cual se deriva de despejar la fórmula del monto.
Los datos que tenemos son:
- Monto (M) = 15,000
- Capital (C) = 10,000
- Tiempo (n) = 5 años
La ecuación es la siguiente:
$$i = \sqrt[n]{\frac{M}{C}} – 1$$
Paso 1: Sustituimos los datos en la ecuación.
$$i = \sqrt[5]{\frac{15000}{10000}} – 1$$
Paso 2: Realizamos la división dentro de la raíz.
$$i = \sqrt[5]{1.5} – 1$$
Paso 3: Calculamos la raíz quinta de 1.5.
$$i = 1.08447177 – 1$$
Paso 4: Realizamos la resta final.
$$i = 0.08447177$$
Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100. La respuesta es 8.4471% anual.
Ejercicio 11: Calcular el monto
Andrea ha decidido invertir $5,000 en una cuenta de ahorros que ofrece una tasa de interés compuesto del 8% anual. ¿Cuál será el monto total después de 3 años?
Solución del ejercicio 11
En este caso queremos saber cuánto dinero tendrá en el futuro, por lo que usaremos la fórmula de monto.
Los datos que tenemos son:
- Capital (C) = 5,000
- Tasa (i) = 0.08 anual
- Tiempo (n) = 3 años
La ecuación de monto es:
$$M = C(1 + i)^n$$
Paso 1: Sustituimos los datos.
$$M = 5000(1 + 0.08)^3$$
Paso 2: Resolvemos la suma dentro del paréntesis.
$$M = 5000(1.08)^3$$
Paso 3: Elevamos 1.08 al cubo (a la potencia de 3).
$$M = 5000(1.259712)$$
Paso 4: Multiplicamos por el capital.
$$M = 6298.56$$
Por lo tanto, Andrea va a recibir $6,298.56 en 3 años.
Ejercicio 12: Calcular el capital
Juan desea tener $10,000 en su cuenta de ahorros dentro de 5 años, si la tasa de interés es del 12% semestral. ¿Cuánto dinero debe invertir hoy?
Solución del ejercicio 12
Lo que nos están pidiendo calcular es el valor actual o capital inicial (lo que debe invertir hoy). Aquí hay un detalle importante: la tasa es semestral, pero el tiempo está en años. Debemos convertir el tiempo a semestres. Como un año tiene 2 semestres, en 5 años hay 10 semestres.
Los datos que tenemos son:
- Monto (M) = 10,000
- Tasa (i) = 0.12 semestral
- Tiempo (n) = 10 semestres
La ecuación de capital es:
$$C = \frac{M}{(1 + i)^n}$$
Paso 1: Sustituimos los datos.
$$C = \frac{10000}{(1 + 0.12)^{10}}$$
Paso 2: Sumamos el valor dentro del paréntesis y lo elevamos a la potencia de 10.
$$C = \frac{10000}{(1.12)^{10}}$$
$$C = \frac{10000}{3.105848}$$
Paso 3: Realizamos la división final.
$$C = 3219.73$$
Por lo tanto, Juan tiene que invertir el día de hoy $3,219.73 para poder obtener $10,000 en 5 años.
Ejercicio 13: Calcular el tiempo
María invierte $2,000 en una cuenta de ahorros que ofrece una tasa de interés compuesto del 4% anual. ¿Cuánto tiempo tardará su inversión en crecer a $2,500?
Solución del ejercicio 13
Para resolver este ejercicio, vamos a necesitar la fórmula del tiempo en interés compuesto, la cual utiliza logaritmos para poder despejar el exponente.
Los datos que tenemos son:
- Monto (M) = 2,500
- Capital (C) = 2,000
- Tasa (i) = 0.04 anual
La fórmula es:
$$n = \frac{\log(M/C)}{\log(1 + i)}$$
Paso 1: Sustituimos los datos en la ecuación.
$$n = \frac{\log(2500 / 2000)}{\log(1 + 0.04)}$$
Paso 2: Realizamos la división en el numerador y la suma en el denominador.
$$n = \frac{\log(1.25)}{\log(1.04)}$$
Paso 3: Calculamos los logaritmos (puedes usar base 10 o logaritmo natural, el resultado será el mismo siempre que uses el mismo en ambos).
$$n = \frac{0.096910}{0.017033}$$
Paso 4: Realizamos la división.
$$n = 5.689$$
Por lo tanto, se tardará aproximadamente 5.68 años en hacer crecer su inversión. Algo a destacar es que el resultado del tiempo siempre se obtiene en la misma unidad de medida en que está expresada la tasa de interés.
Ejercicio 14: Calcular la tasa de interés
Carlos invierte $3,000 en una cuenta de ahorros y después de 3 años, el monto total es de $7,500. ¿Cuál es la tasa de interés anual?
Solución del ejercicio 14
Al igual que en el ejercicio 10, nos piden encontrar la tasa de interés.
Los datos que tenemos son:
- Monto (M) = 7,500
- Capital (C) = 3,000
- Tiempo (n) = 3 años
Utilizamos la ecuación de tasa:
$$i = \sqrt[n]{\frac{M}{C}} – 1$$
Paso 1: Sustituimos los datos.
$$i = \sqrt[3]{\frac{7500}{3000}} – 1$$
Paso 2: Realizamos la división de la fracción.
$$i = \sqrt[3]{2.5} – 1$$
Paso 3: Calculamos la raíz cúbica de 2.5.
$$i = 1.3572 – 1$$
Paso 4: Hacemos la resta.
$$i = 0.3572$$
Al multiplicar por 100, el resultado es 35.72% anual.
Ejercicio 15: Calcular el monto con capitalización trimestral
Valeria invierte $15,000 en un fondo de inversión que paga el 12% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá acumulado después de 4 años?
Solución del ejercicio 15
En este caso, la tasa está en años pero se capitaliza cada trimestre (cada 3 meses). Un año tiene 4 trimestres, por lo que primero debemos ajustar la tasa y el tiempo a la misma unidad de medida (trimestres).
- Tasa trimestral (i): 0.12 / 4 = 0.03
- Tiempo en trimestres (n): 4 años * 4 trimestres = 16 trimestres
Usamos la ecuación de monto:
$$M = C(1 + i)^n$$
Sustituyendo los datos:
$$M = 15000(1 + 0.03)^{16}$$
El resultado es $24,070.60. Ese es el dinero que Valeria tendrá acumulado al final de los 4 años.
Ejercicio 16: Calcular el capital con un plazo en meses
Una empresa necesita tener $500,000 disponibles dentro de 18 meses para renovar maquinaria. Si el banco ofrece una tasa del 9% anual capitalizable mensualmente, ¿qué capital deben depositar el día de hoy?
Solución del ejercicio 16
Nos piden encontrar el capital inicial (C). La tasa es anual con capitalización mensual, por lo que la dividimos entre 12. Como el tiempo ya nos lo dan directamente en meses (18), lo usamos tal cual para que coincida con la capitalización.
Ecuación de capital:
$$C = \frac{M}{(1 + i)^n}$$
Sustituimos los datos:
$$C = \frac{500000}{\left(1 + \frac{0.09}{12}\right)^{18}}$$
El resultado es $437,053.86. Esa es la cantidad exacta que la empresa debe depositar hoy para lograr su objetivo.
Ejercicio 17: Calcular la tasa a partir de los intereses pagados
Roberto pagó $3,200 de intereses por un préstamo de $8,000 a un plazo de 2 años. Si los intereses se capitalizaron anualmente, ¿cuál fue la tasa de interés anual que le cobraron?
Solución del ejercicio 17
Aquí no nos dan el monto total (M) directamente, pero nos dan el capital (8,000) y el interés generado (3,200). Sabemos que el monto es la suma del capital más los intereses, por lo que: M = 8,000 + 3,200 = 11,200.
Ahora que tenemos el monto, usamos la ecuación para encontrar la tasa:
$$i = \sqrt[n]{\frac{M}{C}} – 1$$
Sustituimos los valores:
$$i = \sqrt[2]{\frac{11200}{8000}} – 1$$
El resultado de la operación es 0.1832. Multiplicado por 100, concluimos que le cobraron una tasa del 18.32% anual.
Ejercicio 18: Calcular el tiempo para triplicar una inversión
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $20,000 se triplique, si se invierte a una tasa del 15% anual con capitalización cuatrimestral (cada 4 meses)?
Solución del ejercicio 18
El problema dice que el capital (20,000) se debe triplicar, lo que significa que nuestro monto final (M) debe ser de 60,000. Como la capitalización es cuatrimestral, hay 3 cuatrimestres en un año. Ajustamos la tasa: i = 0.15 / 3 = 0.05.
Utilizamos la ecuación del tiempo:
$$n = \frac{\log(M/C)}{\log(1 + i)}$$
Sustituyendo:
$$n = \frac{\log(60000 / 20000)}{\log(1 + 0.05)}$$
El resultado es n = 22.517 cuatrimestres.
Si queremos expresar este resultado en años, simplemente dividimos entre 3 (los cuatrimestres que tiene un año): 22.517 / 3 = 7.5 años.
Ejercicio 19: Calcular únicamente el interés con capitalización semestral
Calcula el interés total que genera una inversión de $50,000 durante 3 años a una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente.
Solución del ejercicio 19
Para encontrar el interés (I), primero debemos calcular el monto total y luego restarle el capital inicial. Ajustamos los datos para semestres (2 en un año):
- Tasa semestral (i): 0.10 / 2 = 0.05
- Tiempo en semestres (n): 3 años * 2 = 6 semestres
Calculamos el monto:
$$M = 50000(1 + 0.05)^6$$
El monto es 67,004.78.
Ahora restamos el capital para encontrar solo el interés:
I = 67,004.78 – 50,000 = $17,004.78 de puros intereses.
Ejercicio 20: Calcular el capital a partir de los intereses deseados
¿Qué capital inicial es necesario invertir para que, al 8% anual capitalizable mensualmente, genere $12,000 de puros intereses en un periodo de 5 años?
Solución del ejercicio 20
Este problema es diferente porque no tenemos ni el capital ni el monto. Sin embargo, sabemos que el Interés (I) es igual al Monto (M) menos el Capital (C). Partiendo de la fórmula del monto $M = C(1+i)^n$, podemos deducir la fórmula directa para el capital basándonos en el interés:
$$C = \frac{I}{(1 + i)^n – 1}$$
Ajustamos la tasa a mensual (0.08 / 12) y el tiempo a meses (5 años * 12 = 60 meses). Sustituimos en la ecuación:
$$C = \frac{12000}{\left(1 + \frac{0.08}{12}\right)^{60} – 1}$$
Al resolver la parte de abajo, obtenemos aproximadamente 0.4898. Al realizar la división, el resultado es $24,497.52. Ese es el capital exacto que necesitas invertir para que, al final de los 5 años, solo de intereses te entreguen 12,000 pesos.
Nota: En este último ejercicio es vital utilizar todos los decimales en el denominador al momento de elevar la fracción en tu calculadora para evitar variaciones grandes en los centavos finales.
Ejercicios resueltos de interés compuesto en pdf
Si deseas descargar algunos ejercicios de interés compuesto para practicar en formato pdf, puedes descargar los siguientes ejercicios:
Bibliografía
- Mata, A. D. (2020). Matemáticas financieras. México: McGraw-Hill Education.
- Vidaurri, A. H. M. (2017). Matemáticas financieras (6a. ed.). México: Cengage Learning.
